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1975 Übersicht
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Aufgabe 1a:
Für eine arithmetische Reihe gilt .
Berechne die Differenz d und das Glied , stelle die Reihe auf.
4 P
Aufgabe 1b:
In einer arithmetischen Reihe aus sieben Gliedern beträgt die Summe des vierten und fünften Gliedes 13.
Läßt man alle Glieder mit geraden Nummern weg, so besitzen die restlichen Glieder die Summe 32.
Berechne die Größen d, , und dieser Reihe.
4 P
Aufgabe 1c:
Die sieben Glieder einer anderen arithmetischen Reihe haben die Summe 77, das Produkt des ersten und
siebenten Gliedes beträgt 40.
Zeige, dass durch diese Angaben zwei Reihen bestimmt sind, und gib für beide jeweils die Größen ,
d und an.
3 P
Aufgabe 2a:
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks (siehe nebenstehende Skizze) ist Seite eines neuen gleichseitigen Dreiecks , aus dessen Höhe wiederum das gleichseitige Dreieck usw. gebildet wird.
Zeichne die ersten fünf Dreiecke dieser Folge mit .
3 P
Aufgabe 2b:
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks (siehe nebenstehende Skizze) ist Seite eines neuen gleichseitigen Dreiecks , aus dessen Höhe wiederum das gleichseitige Dreieck usw. gebildet wird.
Zeige, dass die Dreiecksseiten eine geometrische Folge mit  bilden.
2 P
Aufgabe 2c:
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks (siehe nebenstehende Skizze) ist Seite eines neuen gleichseitigen Dreiecks , aus dessen Höhe wiederum das gleichseitige Dreieck usw. gebildet wird.
Der Punkt liegt auf der Strecke .
Berechne für die Länge des Streckenzuges von bis und den Flächeninhalt des Vielecks, das von dem Streckenzug gebildet wird.
2 P
Aufgabe 2d:
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks (siehe nebenstehende Skizze) ist Seite eines neuen gleichseitigen Dreiecks , aus dessen Höhe wiederum das gleichseitige Dreieck usw. gebildet wird.
Welches Dreieck hat für einen Flächeninhalt, der erstmals kleiner als ist? 
2 P
Aufgabe 3a:
Von einem Dreieck ABC sind , und gegeben.
Konstruiere dieses Dreieck und berechne seine Winkel und sowie seine Seite c.
4 P
Aufgabe 3b:
Von einem Dreieck ABC sind , und gegeben.
Die Mittelsenkrechte der Seite a schneidet die benachbarte Seite c im Punkt D.
Berechne den Umfang des Dreiecks BCD.
4 P
Aufgabe 3c:
Von einem Dreieck ABC sind , und gegeben.
Konstruiere im Dreieck ABC den Inkreisradius und berechne seine Länge.
3 P
Aufgabe 4a:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind , und die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeichne das Dreieck (Längeneinheit 0,5 cm) und weise rechnerisch nach, dass der Winkel ACB ein rechter ist.
4 P
Aufgabe 4b:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind , und die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeige durch Rechnung, dass der Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC die Seite halbiert, bestimme darüber hinaus die Winkel und .
4 P
Aufgabe 4c:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind , und die Eckpunkte eines Dreiecks.
Die Winkelhalbierende schneidet die Seite im Punkt D.
Fälle von den Punkten A und B die Lote auf die Gerade CD und zeige mithilfe ähnlicher Dreiecke die Richtigkeit des Streckenverhältnisses . 
3 P
Aufgabe 5a:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind vier Geraden durch die Gleichungen  
;  ; ;
gegeben. 
Zeige durch Zeichnung (Längeneinheit 1 cm) und Rechnung, dass die Geraden für ein Trapez mit den Eckpunkten , , und einschließen. 
4 P
Aufgabe 5b:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind vier Geraden durch die Gleichungen  
;  ; ;
gegeben. 
Drehe das Trapez ABCD um die x-Achse und bestimme das Volumen des entstehenden Körpers
als Vielfaches von . 
4 P
Aufgabe 5c:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind vier Geraden durch die Gleichungen  
;  ; ;
gegeben. 
Durch die Gerade entsteht zusammen mit den anderen Geraden ein veränderliches
Trapez ABC'D'.
Innerhalb welcher Grenzen kann sich a bewegen? 
Welche Koordinaten haben die Punkte C' und D' in Abhängigkeit von a? 
Welches Volumen hat der durch Drehung des Trapezes um die x-Achse entstehende Drehkörper
in Abhängigkeit von a? 
3P
Aufgabe 6a:
Durch die beiden Geraden
und
und die x-Achse ist ein gleichschenkliges Dreieck bestimmt. 
Zeichne die Geraden in ein rechtwinkliges Koordinatensystem (Längeneinheit 1 cm) und bestätige durch
Rechnung die Koordinaten , und der Eckpunkte des Dreiecks.
4P
Aufgabe 6b:
Durch die beiden Geraden
und
und die x-Achse ist ein gleichschenkliges Dreieck bestimmt. 
Berechne vom Dreieck ABC die Winkel und , die Seite a und die Seitenhalbierende ;
zeige darüber hinaus, dass der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2 : 1 teilt.
4P
Aufgabe 6c:
Durch die beiden Geraden
und
und die x-Achse ist ein gleichschenkliges Dreieck bestimmt. 
Schlage um den Kreisbogen zwischen A und B. Er schließt zusammen mit den Geraden (1)
und (2) eine Fläche ein.
Berechne das Volumen des durch Drehung dieser Fläche um die y-Achse entstehenden Rotationskörpers. 
3P
Aufgabe 7a:
In einen Würfel mit der Kantenlänge a = 6 cm wird eine Pyramide eingesetzt. Die Grundfläche dieser
Pyramide entsteht durch Verbindung der Mittelpunkte der vier unteren Würfelkanten, die Spitze liegt
im Mittelpunkt der oberen Würfelfläche. 
Fertige eine Zeichnung an. 
Berechne das Volumen der Pyramide und bestimme dessen prozentualen Anteil am Würfelvolumen. 
Aufgabe 7b:
In einen Würfel mit der Kantenlänge a = 6 cm wird eine Pyramide eingesetzt. Die Grundfläche dieser
Pyramide entsteht durch Verbindung der Mittelpunkte der vier unteren Würfelkanten, die Spitze liegt
im Mittelpunkt der oberen Würfelfläche. 
Berechne die Summe aller Kanten der Pyramide und den Winkel, den jede Seitenfläche mit der Grundfläche
bildet.
4P
Aufgabe 7c:
In einen Würfel mit der Kantenlänge a = 6 cm wird eine Pyramide eingesetzt. Die Grundfläche dieser
Pyramide entsteht durch Verbindung der Mittelpunkte der vier unteren Würfelkanten, die Spitze liegt
im Mittelpunkt der oberen Würfelfläche. 
Zeige, dass sich für die Oberfläche der Pyramide in Abhängigkeit von a der Term ergibt.
3P
4P
 Aufgabe 8a:
Durch Drehung der (nebenstehenden) schraffierten Fläche um die x-Achse bzw. um die y-Achse entstehen Drehkörper mit den Rauminhalten bzw. . 
  
Zeichne einen Achsenschnitt durch beide Drehkörper für
a = b = 6 cm und berechne für diese Werte und
als Vielfaches von .
 
4P
 Aufgabe 8b:
Durch Drehung der (nebenstehenden) schraffierten Fläche um die x-Achse bzw. um die y-Achse entstehen Drehkörper mit den Rauminhalten bzw. . 
  
Stelle für a = 6 cm die Funktionsgleichungen für  und mit der Variablen b auf und ermittle, für welchen Wert von b die Gleichung gilt.
 
 
4P
 Aufgabe 8c:
Durch Drehung der (nebenstehenden) schraffierten Fläche um die x-Achse bzw. um die y-Achse entstehen Drehkörper mit den Rauminhalten bzw. . 
  
Leite für b = 2a Formeln für und in Abhängigkeit von a her und bestimme das Zahlenverhältnis beider Rauminhalte.
 
 
3P